קבוצה סופית

בתורת הקבוצות, קבוצה סופית היא קבוצה שיש לה מספר סופי של איברים.

לכאורה ההבחנה בין קבוצה סופית וקבוצה אינסופית היא פשוטה ואינטואיטיבית, אבל במהלך הפיתוח האקסיומטי של תורת הקבוצות הייתה נחוצה הגדרה מדויקת, והתברר שכמה משפטים מובנים מאליהם אינם תקפים במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל, אלא אם מניחים את אקסיומת הבחירה.

הראשון שהגדיר קבוצה סופית היה ריכרד דדקינד, ב-1888 (ראו להלן). ב-1905 הבחין ראסל שכדי להוכיח שקבוצת החזקה של קבוצה סופית במובן של דדקינד היא סופית באותו מובן, נחוצה אקסיומת הבחירה. ב-1924, בהשפעת עבודות של ואצלב שרפינסקי וקזימיירז קורטובסקי, כתב אלפרד טרסקי מאמר סקירה מקיף בנושא , ובו השווה חמש תכונות, שכולן אמורות לתאר את הסופיות של A:

1. בכל משפחה של תת-קבוצות של A, יש תת-קבוצה מקסימלית ביחס להכלה;
2. בכל משפחה של תת-קבוצות של A שיחס ההכלה מסדר אותה ליניארית, יש תת-קבוצה מקסימלית;
3. אין תת-קבוצה אמיתית של קבוצת החזקה $\ P(A)$ שהיא שוות-עוצמה ל-$\ P(A)$;
4. אין תת-קבוצה אמיתית של A שהיא שוות-עוצמה ל-A (זו ההגדרה של דדקינד);
5. אי-אפשר להציג את A כאיחוד זר של שתי קבוצות שכל אחת מהן שוות-עוצמה ל-A.

טרסקי הראה שכל תכונה גוררת את הבאות אחריה, ושכולן שקולות אם מניחים את אקסיומת הבחירה; מתמטיקאים שבאו בעקבותיו הראו שללא אקסיומת הבחירה, חמש התכונות אינן שקולות זו לזו.

ב-1938 בחן טרסקי שלוש תכונות נוספות:

6. לכל סדר טוב S על A, גם הסדר ההפוך $\ \{(b,a):(a,b)\in S\}$ הוא סדר טוב על A;

7. אם יש ב-A יותר מאיבר אחד, אז אפשר לפרק אותה לאיחוד זר של שתי קבוצות שעוצמתן קטנה משל A;

8. אם יש ב-A יותר מאיבר אחד, אז עוצמתה קטנה משל המכפלה הקרטזית $\ A\times A$ (ראו משפט טרסקי).

טרסקי הראה שהשקילות בין כל אחת מההגדרות האלה להגדרה 1 שלעיל גוררת את אקסיומת הבחירה.

ההגדרה המודרנית קובעת שקבוצה היא סופית אם ורק אם היא איזומורפית לאיבר של הקבוצה $\omega$, וממילא היא סדורה היטב. הגדרה זו שקולה לכל האחרות בנוכחות אקסיומת הבחירה, ומספקת גמישות מקסימלית אפילו בהיעדרה.

לקריאה נוספת

• Gregory H. Moore, Zermelo's Axiom of Choice, Its origins, development and influence, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 8, 1982, סעיף 4.2.

קישורים חיצוניים

• קבוצה סופית, באתר MathWorld (באנגלית)